WHAT ABOUT PROGRESS?

進捗どうですか

Homology #01

これまでに勉強したつもりのことを再整理しています.
去年は1年かけて(だらだらと)東大の幾何学IIの講義ノートホモロジー論を勉強していましたが,何が本質的であるかが分からずにただひたすら写経していたような感があります.
なので,とりあえずは特異ホモロジー論の超重要な部分だけでも復習しようと思い立ったのでした.

1. 特異ホモロジー群の定義・境界作用素

 面作用素は標準{n}-単体を標準{n+1}-単体の境界上へ持っていく写像であること.
 だから標準{n+1}-単体上の連続写像を標準{n}-単体上の連続写像として考えることができる.すなわちホモロジー群の次数が落ちる.
(de Rhamコホモロジー群は,外微分すると係数の関数の変数が増えるのでコホモロジー群の次数が上がる)

2. 元の空間のホモロジー群は弧状連結成分のホモロジー群の直和(に同型)であること

 同型写像をつくるだけ.

3. 第0次ホモロジー群はその空間の弧状連結がなす自由加群(に同型)であること

 ふたつの群の間の同型写像を作るのにDiagram Chasingが必要.あと商群の普遍性による特徴づけはめっちゃ大事.同型写像の一意存在が簡単に言えちゃう.

4. 特異ホモロジー群のホモトピー不変性

 プリズム分解がしっかりプリズム分解({\Delta ^n} \times [0,1]を{\Delta ^{n+1}}に分解する)ことが大事.
 チェイン群のレベルでは消えない部分,すなわちチェインホモトピーで補っている部分はプリズム分解で現れる側面の部分(三角柱の側面)であって,ホモロジー群のレベルでは綺麗に消える(= すなわち,残るのは三角柱の上面と底面,これはホモトピーのパラメータが0のときと1のときのものに対応する )からチェインホモトピーを作らなければならない.と幾何学的に解釈している.

5. Mayer-Vietoris完全列

 MV完全列もどきは簡単にできるので,必要なのは同型

{H_n (X) \cong H_n(U)+H_n (V)}

 重心細分で部分集合の直径をLebesgue数より小さくすれば,そのかけらひとつひとつが{H_n(U)}{H_n(V)}に入っていると考えることができ,包含写像ホモロジー群の 同型写像となることがいえる(それを言うにはチェインホモトピーを2,3回作らなければいけないのでめっちゃ大変).
 妥協して重心細分作用素がしっかり重心細分していることを確認して,あとは代数的にちゃんとチェインホモトピーが作れていることを確認できればいいとおもう,たぶん.
 なお,重心細分作用素のチェインホモトピーの構成については中岡:ホモロジー論による説明が個人的にしっくりきた.

次は空間対のホモロジーの重要事項です.たぶんつづく.